Toán 12 bài 2: tích phân

      36

Khái niệm Tích phân được trình làng sau khái niệm nguyên hàm, là sự kế quá và trở nên tân tiến của bài học trước. Tựa như bài học tập Nguyên hàm, bài Tích phân sẽ reviews đến các em khái niệm, các tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích tính phân là phương pháp đổi đổi thay số cách thức tích phân từng phần được desgin trên nền tảng Nguyên hàm của một hàm số.

Bạn đang xem: Toán 12 bài 2: tích phân


1. đoạn phim bài giảng

2. Cầm tắt lý thuyết

2.1. Định nghĩa

2.2. đặc thù của tích phân

2.3. Một số phương pháp tính tích phân

3. Bài bác tập minh hoạbài 2 Chương 3 Toán 12

4. Luyện tập Bài 2 Chương 3 Toán 12

4.1 Trắc nghiệm vềtích phân

4.2 bài tập SGK và cải thiện về tích phân

5. Hỏi đáp về bài xích 2 Chương 3 Toán 12


*

Cho hàm (f(x))liên tục trên khoảng tầm K và a, b là nhì số ngẫu nhiên thuộc K. Giả dụ (F(x))là một nguyên hàm của (f(x))thì hiệu số (F(b)-F(a))được call là tích phân của (f(x))từ a đến b và ký hiệu là (intlimits_a^b f(x)dx .)Trong trường hòa hợp (a


Cho những hàm số (f(x),,g(x))liên tục trên K và (a,b,c)là tía số thuộc K.

(,intlimits_a^a f(x)dx = 0)(intlimits_a^b f(x)dx = - intlimits_b^a f(x)dx )(intlimits_a^b f(x)dx = intlimits_a^c f(x)dx + intlimits_c^b f(x)dx )(intlimits_a^b k.f(x)dx = kintlimits_a^b f(x)dx )(intlimits_a^b dx = intlimits_a^b f(x)dx pm intlimits_a^b g(x)dx )
a) cách thức đổi biến hóa số

Công thức đổi đổi mới số (intlimits_a^b fu"(x)dx = intlimits_u(a)^u(b) f(u)du .)Trong đó (f(x))là hàm số thường xuyên và (u(x))có đạo hàm liên tiếp trên khoảng J làm thế nào cho hàm vừa lòng (f)xác định bên trên J; (a,,b in J.)

Các phương pháp đổi biến hóa số thường xuyên gặp:Cách 1: Đặt(u = u(x))((u)là một hàm theo(x)).

Xem thêm: Vùng Tử Địa Phần 3 ) (Hd,Thuyết Minh), Vùng Tử Địa (Phần 3)

Cách 2: Đặt(x=x(t))((x)là một hàm theo(t)).b) cách thức tích phân từng phần

Định lí:

Nếu (u(x),,v(x))là hai hàm số có đạo hàm liên tiếp trên khoảng K và (a,b)là nhì số thuộc K thì(intlimits_a^b u(x)v"(x)dx = left. U(x)v(x) ight|_a^b - intlimits_a^b v(x)u"(x)dx.)


Bài tập minh họa


Ví dụ 1:

Áp dụng cách làm tính tích phân cơ bản, tính những tích phân sau:

a)(I = intlimits_1^2 fracx^2 - 2xx^3dx)

b)(I = intlimits_0^fracpi 4 cos ^2xdx)

Lời giải:

a)(I = intlimits_1^2 fracx^2 - 2xx^3dx = intlimits_1^2 left( frac1x - frac2x^2 ight)dx = left. left( ln left ight) ight|_1^2)

(= left( ln 2 + 1 ight) - left( ln 1 + 2 ight) = - 1 + ln 2)

b)(I = intlimits_0^fracpi 4 cos ^2xdx = intlimits_0^fracpi 4 (1 + cos 2x)dx = left. frac12(x + frac12sin2x) ight|_0^fracpi 4 = fracpi + 28)

Ví dụ 2:

Áp dụng phương pháp đổi vươn lên là số, tính những tích phân sau:

a)(intlimits_0^3 fracx1 + sqrt 1 + x dx)

b)(I = intlimits_0^2 x^3sqrt x^2 + 1 dx)

c)(I = intlimits_0^1 fracdxsqrt 4 - x^2 )

Lời giải:

a) Đặt:(t = sqrt 1 + x Rightarrow t^2 = 1 + x Rightarrow 2tdt = dx)

Đổi cận(x = 0 Rightarrow t = 1;x = 3 Rightarrow t = 2)

(eginarrayl intlimits_0^3 fracx1 + sqrt 1 + x dx = intlimits_1^2 fract^2 - 1t + 1 2tdt = intlimits_1^2 2t(t - 1)dt \ = left. left( frac23t^3 - t^2 ight) ight|_1^2 = frac53 endarray)

b) Đặt:(t = sqrt x^2 + 1 Rightarrow left{ eginarray*20c x^2 = t^2 - 1\ xdx = tdt endarray ight.)

Đổi cận:(left{ eginarray*20c x = 0\ x = 2 endarray ight. Rightarrow left{ eginarray*20c t = 1\ t = sqrt 5 endarray ight.)

Vậy:(I = intlimits_1^sqrt 5 left( t^2 - 1 ight)t.tdt = left( fract^55 - fract^33 ight)left| eginarray*20c sqrt 5 \ 1 endarray = frac215 + frac10sqrt 5 3 ight.)

c) Đặt(x = 2sin t)với(t in left< - fracpi 2;fracpi 2 ight> Rightarrow dx = 2cos tdt)

Đổi cận:(x = 0 Rightarrow t = 0;x = 1 Rightarrow t = fracpi 6)

Vậy:(intlimits_0^1 fracdxsqrt 4 - x^2 = intlimits_0^fracpi 6 frac2cos tdtsqrt 4 - 4sin ^2t = intlimits_0^fracpi 6 frac2cos tdt2cos t = intlimits_0^fracpi 6 dt = tleft| eginarray*20c fracpi 6\ 0 endarray ight. = fracpi 6)

Ví dụ 3:

Vận dụng phương pháp tính tích phân từng phân, tính những tích phân sau:

a)(I = intlimits_0^1 x.e^2xdx)

b)(I = intlimits_1^2 (x^2 - 1)ln xdx)

Lời giải:

a) Đặt:(left{ eginarray*20c u = x\ dv = e^2xdx endarray ight. Rightarrow left{ eginarray*20c du = dx\ v = frace^2x2 endarray ight.)

(I = left. fracxe^2x2 ight|_0^1 - intlimits_0^1 frace^2x2dx = left. frace^22 - frace^2x4 ight|_0^1 = frace^2 + 14).

b) Đặt:(left{ {eginarray*20c u = ln x\ dv = left( x^2 - 1 ight)dx endarray Rightarrow left eginarray*20c du = fracdxx\ v = fracx^3 - 3x3 endarray ight. ight.)

(I = left. fracleft( x^3 - 3x ight)ln x3 ight|_1^2 - intlimits_1^2 fracx^2 - 33 dx = frac2ln 23 - left. left( fracx^39 - x ight) ight|_1^2)(= frac2ln 23 + frac29).