Cách xác định cận trong tọa độ cực

      6
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số con đường tính (Linear Algebra)Xác suất thống kêVideo bài giảngThảo luậnThảo luận về giải tíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Ví dụ: khẳng định cận lấy tích phân sau vào tọa độ cực:

1. D số lượng giới hạn bởi :

*

Ta có: D số lượng giới hạn bởi đường tròn chổ chính giữa O , nửa đường kính 1 bắt buộc O phía trong miền D, và hầu như tia xuất phát từ O cắt biên ở 1 điểm có: r = 1 cho nên vì thế theo (3) ta bao gồm :

*

2 D số lượng giới hạn bởi

*

*
Dựa vào mẫu vẽ ta thấy: 2 tia xuất phát từ O xúc tiếp với con đường tròn chính là 2 tia
*
,
*

Do con đường tròn trải qua O buộc phải cận dưới r = 0, cận trên,: đưa D qua tọa độ cực ta có

*

Vậy cận mang tích phân của miền D là:

*

3. D giới hạn bởi

*

Hoàn toàn tương tự, bạn sẽ tìm được cận rước tích phân của miền D là:

*

*
4. D là miền số lượng giới hạn bởi con đường tròn tâm I(a;b) , bán kính R bất kỳ.

Bạn đang xem: Cách xác định cận trong tọa độ cực

Trong trường hợp này, việc đào bới tìm kiếm ra phương trình của 2 tia OA, OB sẽ rất vất vả, đôi khi lại ko rơi vào các góc sệt biệt. Và việc tìm kiếm ra phương trình của cung lớn, cung nhỏ tuổi AB cũng không hẳn đơn giản.

Tuy nhiên, giả dụ tịnh tiến chổ chính giữa đường tròn về góc tọa độ thì bài toán sẽ dễ dàng và đơn giản hơn tương đối nhiều vì sẽ trở về ví dụ như 1.

Với miền D có dạng này, trước hết ta đổi biến. Đặt:

*

Khi đó:

*

5. Mang đến

*
với D là miền giới hạn bởi các đường thẳng:
*

Ở đây, mặc dù miền D là miền tam giác và ta dễ dãi xác định cận số lượng giới hạn của miền D là:

*
, nhưng lại trong hàm lấy tích phân là
*
cho nên việc lấy tích phân đang phức tạp. Vị đó, đề nghị chuyển quý phái tọa độ cực.

Khi đó: bạn tiện lợi nhận thấy miền D giới hạn bởi 2 tia

*
, gốc O trực thuộc miền D nên chỉ cần tìm cận trên của r . Phụ thuộc vào hình vẽ: cận bên trên được xác định
*

Vậy:

*

Cách 2: xác minh cận bằng phương pháp đại số.

Chuyển những phương trình mặt đường cong quý phái tọa độ cực. Chăm chú điều kiện ban sơ

*
\left(<-\pi;\pi> \right) " class="latex" /> khi đó: bạn sẽ có những trường đúng theo sau:

TH1: chỉ tất cả duy nhất mặt đường cong

*

Trường thích hợp này, ta tìm đk của

*
nhằm
*
. Khi đó, kết hợp điều khiếu nại
*
" class="latex" /> ta gồm cận của
*
; còn cận của r đã là:
*

Ví dụ 1: khẳng định cận của tích phân trong tọa độ cực nếu D là miền giới hạn bởi

*

Ta có:

*
" class="latex" />

Do kia cận lấy tích phân được xác minh bởi:

*

Ví dụ 2: Xác định cận của tích phân trong tọa độ cực nếu D là miền giới hạn bởi con đường cong:

*

Rõ ràng, vào trường đúng theo này, câu hỏi vẽ miền D để khẳng định cận là việc làm tương đối khó khăn.

Xem thêm: Game Siêu Nhân Trái Cây Robot Trái Cây, Siêu Nhân Trái Cây

Nếu chuyển qua tọa độ cực, ta có:

*

Hay:

*

Do điểm (0;0) nằm trên đường cong, đề xuất gốc O nằm trong vào miền rước tích phân D. Nên:

*

Như vậy, ta phải tất cả điều kiện:

*

Nghĩa là:

*
" class="latex" /> hoặc
*
" class="latex" />

Như vậy miền D bao gồm hai miền:

*

*

TH2: nhận được 2 đường cong khẳng định bởi:

*

Với trường hợp này, ta nên tìm đk của

*
để:

*

Ví dụ: D là miền số lượng giới hạn nằm ngoài đường tròn trung tâm O, nửa đường kính 1 và bên trong đường tròn tâm I(1;0) bán kính 1.

Theo trả thiết ta có:

*

Chuyển qua tọa độ cực ta có:

*

Hay:

*

Như vậy, ta phải có điều kiện:

*

Từ đó, ta có:

*

Vậy:

*

Ngoài ra, còn một số trường phù hợp khác dành cho chúng ta nghiên cứu vớt thêm.

3. Đổi thay đổi trong tích phân kép:

Cho hàm số f(x;y) tiếp tục trong miền D đóng cùng bị chặn.

Xét phép đổi biến:

*
(1)

Giả sử:

– D’ là tạo ảnh của D qua phép biến đổi (1)

– (1) khẳng định một tuy nhiên ánh từ bỏ D’ lên D. (Nghĩa là phép đổi đổi mới biến miền D vào mp(Oxy) thành miền D’ trong mp(O’uv) sao cho từng điểm (u;v) trực thuộc D’ chỉ tương ứng duy nhất với cùng một điểm (x;y) thuộc D).

– các hàm số x(u;v) cùng y(u;v) liên tục và gồm đạo hàm riêng liên tiếp trên D’, thỏa mãn nhu cầu điều kiện:

*

(J được điện thoại tư vấn là định thức Jacobi của những hàm số x cùng y)

Khi đó, ta tất cả công thức đổi vươn lên là sau:

*
.|J| \, dudv " class="latex" />

(Ta công nhận bí quyết đổi biến trên)

*
Ví dụ: Tính
*
cùng với D số lượng giới hạn bởi:
*
;
*
;
*
;
*

Với miền D cho như trên, nếu làm theo cách thông thường, dù đem theo phương nào, ta phải chia miền D thành nhiều miền nhỏ. Vì đó, việc thống kê giám sát sẽ phức tạp.

Dễ dàng nhận thấy miền D bị số lượng giới hạn bởi 2 cặp mặt đường thẳng song song. Cặp đầu tiên có dạng:

*
với cặp thứ hai có dạng:
*