Cách giải phương trình mũ và logarit

      17

Phương trình mũ và bất phương trình mũ có nhiều dạng toán, đó cũng là giữa những kiến thức rộng lớn trong toán lớp 12 mà các em cần nắm rõ và vận dụng linh hoạt để giải toán.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình mũ và logarit


Các em đã ôn tập về luỹ quá trong bài xích hướng dẫn trước, vào phần này chúng ta sẽ ôn lại kiến thức và kỹ năng về phương trình mũ với bất phương trình mũ. Nếu những em chưa nhớ các đặc thù của hàm số mũ, các em hoàn toàn có thể xem lại Tại Đây

A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

I. Phương trình mũ cơ bản

+ Là dạng phương trình ax = b; (*), cùng với a, b mang đến trước cùng 0

- nếu như b≤ 0: Phương trình (*) vô nghiệm

- nếu như b>0: 

*
 (00)

II. Phương pháp giải Phương trình mũ cùng Bất phương trình mũ

1. Phương pháp đưa về thuộc cơ số

- Ta áp dụng phép đổi khác tương đương sau:

 af(x) = ag(x) ⇔ a = 1 hoặc 

*
 ⇔ 
*

 hoặc: 

*
 ⇔
*

* Ví dụ: Giải những phương trình sau:

a) 

b) 

* Lời giải:

a) 

⇔ 

*

⇔ x2 - x + 8 = 2 - 6x

⇔ x2 + 5x + 6 = 0

⇔ x= -2 hoặc x = -3

b) 

⇔ 

*

*

*

⇔ x = 1

2. Cách thức dùng ẩn phụ

* khi sử dụng phương pháp này ta nên thực hiện theo công việc sau:

B1: Đưa PT, BPT về dạng ẩn phụ quen thuộc.

B2: Đặt ẩn phụ phù hợp và tìm đk cho ẩn phụ.

B3: Giải PT, BPT cùng với ẩn phụ mới và tìm kiếm nghiệm thỏa điều kiện.

B4: núm giá trị t tìm kiếm được vào giải PT, BPT mũ cơ bản

B5: Kết luận.

*

* nhiều loại 1: Các số hạng trong PT, BPT hoàn toàn có thể biểu diễn qua af(x) nên để t = af(x).

- Hay gặp gỡ một số dạng sau:

+ Dạng 1: Aa2f(x) + Baf(x) + C = 0 ⇒ bậc 2 ẩn t.

+ Dạng 2: Aa3f(x) + Ba2f(x) + Caf(x) + D = 0 ⇒ bậc 3 ẩn t.

Xem thêm: Phim Hàn Quốc Hay Trên Netflix, Xem Phim Hàn Quốc Online

+ Dạng 3: Aa4f(x) + Ba2f(x) + C = 0 ⇒  trùng phương ẩn t.

> giữ ý: Trong các loại này ta còn chạm mặt một số bài xích mà sau khoản thời gian đặt ẩn phụ ta chiếm được một phương trình, Bpt vẫn đựng x ta điện thoại tư vấn đó là các bài toán để ẩn phụ không trả toàn.

* nhiều loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc n đối với af(x) và bf(x).

- Hay gặp gỡ một số dạng sau:

+ Dạng 1: Aa2f(x) + B(a.b)f(x) + Cb2f(x) = 0 

⇒ chia 2 vế cho a2f(x) đem về loại 1 dạng 1

+ Dạng 2: Aa3f(x) + B(a2.b)f(x) + C(a.b2)f(x) + D.b3f(x) = 0 

⇒ phân tách 2 vế cho a3f(x) đưa về các loại 1 dạng 2

º Tổng quát: cùng với dạng này ta đang chia cả hai vế của Pt cho an.f(x) hoặc bn.f(x) với n là số tự nhiên lớn nhất có trong Pt sau thời điểm chia ta sẽ gửi được Pt về nhiều loại 1.

Loại 3: trong phương trình bao gồm chứa 2 cơ số nghịch đảo

+ Dạng 1: A.af(x) + B.bf(x) + C = 0 cùng với a.b=1

⇒ Đặt ẩn phụ t = af(x) ⇒ bf(x) = 1/t

+ Dạng 2: A.af(x) + B.bf(x) + C.cf(x) = 0 cùng với a.b=c2.

⇒ phân chia 2 vế của Pt mang đến cf(x) và đem lại dạng 1.

3. Phương pháp logarit hóa

+ Đôi lúc ta cần yếu giải một PT, BPT mũ bằng phương pháp đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, lúc ấy ta thể đem logarit nhì vế theo và một sơ số phù hợp nào kia PT, BPT nón cơ bản (phương pháp này điện thoại tư vấn là logarit hóa)

+ dấu hiệu nhận biết: PT một số loại này thường có dạng af(x).bg(x).ch(x)=d (tức là trong phương trình có chứa được nhiều cơ số khác biệt và số mũ cũng không giống nhau) khi ấy ta có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c).

B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Bất phương trình nón cơ bản

- Xét bất phương trình ax > b

- ví như b≤0, tập nghiệm của bất PT là R vì ax > 0 với đa số x∈R 

- trường hợp b>0, thì BPT tương tự với ax >

*

- nếu a > 1 thì nghiệm của bất PT là x > logab

- nếu 0 ab

2. Giải bất phương trình bằng phương pháp đưa về và một cơ số

3. Giải bất phương trình nón bằng phương pháp đặt ẩn phụ

C. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PT MŨ

* Giải phương trình mũ áp dụng phương thức đưa về cùng cơ số

* bài tập 1: Giải các phương trình nón sau

a) 2-x=28 b) 2-x=8

c) 

*
d) 
*

* Lời giải:

a) 2-x=28 ⇔ -x =8 ⇔ x =-8

b) 2-x=8 ⇔ 2-x= 23 ⇔ -x =3 ⇔ x =-3

c)

*
 ⇔ x2 - 3x + 2 = x+2 ⇔ x2 - 3x - x + 2 - 2 = 0

⇔ x2 - 4x = 0 ⇔ x(x - 4) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4

d) 

*
 ⇔ -2 - x2 = 3x ⇔ x2 + 3x + 2 =0 ⇔ x=-1 hoặc x = -2

(cách nhẩm nghiệm: Do những hệ số của Pt bậc 2 trên có a - b + c =0 nên có 1 nghiệm x = -1 nghiệm sót lại x = -c/a = -2)

* bài bác tập 2: Giải những phương trình nón sau

a)

*
b)
*
c) 2x+1 + 2x-2 = 36

* Lời giải:

a)

*
 ⇔ x2 - 3x - 2 = -2 ⇔ x2 - 3x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3

b)

*
 ⇔ x2 - 3x + 1 = -1 ⇔ x2 - 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2

(cách nhẩm nghiệm: Do những hệ số của Pt bậc 2 trên bao gồm a + b + c =0 nên có 1 nghiệm x = 1 nghiệm sót lại x = c/a = 2)

c) 2x+1 + 2x-2 = 36 ⇔ 2.2x + 2x/4 = 36 ⇔ 8.2x + 2x = 144

⇔ 9.2x = 144 ⇔ 2x = 16 ⇔ 2x = 24 ⇔ x = 4

* Giải phương trình nón áp dụng phương thức đặt ẩn phụ

* bài bác tập 3: Giải những phương trình mũ sau

a) 9x - 4.3x + 3 = 0

b) 9x - 3.6x + 2.4x = 0

c) 5x + 51-x -6 = 0

d) 25x -2.5x - 15 = 0

* Lời giải:

a) 9x - 4.3x + 3 = 0 để t = 3x với t>0 ta được phương trình: t2 - 4.t + 3 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 3 (2 nghiệm phần đa thoả điều kiện t>0).

với t = 1 ⇔ 3x = 1 ⇔ x=0

với t = 3 ⇔ 3x = 3 ⇔ x=1

b) 9x - 3.6x + 2.4x = 0 phân tách 2 vế của phương trình đến 4x ta được phương trình sau

*
⇔ 
*
 đặt t = (3/2)x với t>0 ta được phương trình

t2 - 3.t + 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 2 (2 nghiệm những thoả t>0)

với t = 1 ⇔ (3/2)x = 1 ⇔ x=0

với t = 2 ⇔ (3/2)x = 2 ⇔ 

*

c) 5x + 51-x -6 = 0 ⇔ 5x + 5.5-x -6 = 0

Đặt t = 5x (với t>0) thì 5-x = 1/t ta được phương trình:

*
 ⇔ t =1 hoặc t =5 (thoả điều kiện t>0)

với t = 1 ⇔ 5x = 1 ⇔ x=0

với t = 5 ⇔ 5x = 5 ⇔ x=1

d) d) 25x -2.5x - 15 = 0 ⇔ 52x - 2.5x - 15 = 0 đặt t = 5x cùng với t>0 ta được phương trình